Уравнения Бернулли

Описание

Уравнение Бернулли — это фундаментальный закон в гидродинамике и аэродинамике, который выражает закон сохранения механической энергии для движущейся идеальной (невязкой) и несжимаемой жидкости. Его опубликовал Даниил Бернулли в 1738 году в труде Hydrodynamica.

Уравнение Бернулли в гидродинамике
Это фундаментальный закон, который описывает связь между давлением, скоростью и высотой в потоке жидкости или газа. Он выражает закон сохранения механической энергии для установившегося (стационарного) потока идеальной несжимаемой жидкости.

Формула для идеальной жидкости выглядит так:
z + p/(ρg) + v²/(2g) = const
Где:
z — геометрическая высота (потенциальная энергия положения);
p/(ρg) — пьезометрическая высота (высота подъёма жидкости за счёт давления);
v²/(2g) — скоростной напор (высота подъёма за счёт кинетической энергии).

Для двух сечений потока (1 и 2) уравнение записывается как равенство:
z₁ + p₁/(ρg) + v₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + v₂²/(2g)

Физический смысл: полная удельная энергия (сумма потенциальной, кинетической и энергии давления) вдоль линии тока остаётся постоянной.

Важный вывод: если скорость потока возрастает (например, в узкой части трубы), то статическое давление в этом месте падает.

Для реальной жидкости уравнение усложняется:
Вводится коэффициент Кориолиса (α), который учитывает неравномерность распределения скоростей по сечению (α ≈ 1,05–1,1 для турбулентного режима, α = 2,0 для ламинарного).
Появляются слагаемое hₚ — суммарные потери напора из-за вязкости и других сопротивлений.

z₁ + p₁/(ρg) + α₁v₁²/(2g) = z₂ + p₂/(ρg) + α₂v₂²/(2g) + hₚ
Ограничения: уравнение не применимо для нестационарных течений, сильно сжимаемых сред (газы при высоких скоростях) и сред с заметной вязкостью.

Уравнение Бернулли в математике
В анализе это специальный тип дифференциального уравнения первого порядка. Оно имеет вид:

y' + p(x)·y = f(x)·yⁿ
Где p(x) и f(x) — заданные непрерывные функции, а n ≠ 0 и n ≠ 1 (иначе это будет линейное уравнение).

Как его решить? Нужно разделить обе части на yⁿ, а затем сделать замену z = y¹⁻ⁿ. После этого получится линейное уравнение относительно z, которое можно решить стандартными методами. Также существует метод Бернулли, когда решение ищут в виде произведения двух функций.